Over wiskunde

Wat is wiskunde

Een definitie

Het valt niet mee om iets zo complex en veelzijdigs als de wiskunde in twee zinnen te vatten. Onszelf baserend op het overeenkomstig Wikipedia-artikel doen we volgende poging:

Wiskunde is de studie van structuur, ruimte, kwantiteit en verandering, herleid tot hun meest abstracte essentie. Wiskundigen zoeken patronen, formuleren vermoedens en leiden waarheid af via rigoureuze deductie uit oordeelkundig gekozen axioma's en definities.

Twee zaken staan voor ons centraal: het abstraheren van de werkelijkheid en het deduceren van waarheden.

AbstractieAbstractie

Wiskunde is de studie van de fenomenen om ons heen in hun meest abstracte vorm. De wiskundige weerhoudt slechts het diepste wezen van wat hij bestudeert en maakt letterlijk abstractie van het al het overige, zonder dat dit daarom vergezocht kan worden genoemd. Een voorbeeld:

"Jantje, als je drie peren hebt en ik neem er één af, hoeveel hou je er dan over?"
"Dat weet ik niet, oom, wij doen dat enkel met appels."

Het zijn prille inzichten als dit dat er een abstracte entiteit drie bestaat die zowel drie appels als drie peren karakteriseert, die aan de basis liggen van duizenden jaren wiskundige vooruitgang. Het laat ons toe met één theorie de meest uiteenlopende problemen te beschrijven.

Nog een voorbeeld: sociale netwerken en moleculaire verbindingen hebben een vergelijkbare structuur. De wiskundige kan problemen over beide verschijnselen bestuderen als toepassing van de grafentheorie.

Deductie

Wanneer hij de werkelijkheid dan tot haar rauwste essentie heeft herleid, gaat de wiskundige echt aan de slag. Met strikte redeneringen leidt hij nieuwe waarheden af uit bekende waarheden. Met kleine en sluitende argumenten bouwt hij stukje bij beetje een redenering die ontegensprekelijk tot een soms spectaculaire conclusie leidt.

Zodra ze sluitend is, wordt zo'n redenering de eeuwige getuige van de noeste inspanning van de wiskundige. In tegenstelling tot theorieën uit het veld van de wetenschappen, is een wiskundige theorie onvergankelijk en onbreekbaar. Zelfs wanneer op een droeve dag niemand zich de redenering kan herinneren blijft zij immer waar, klaar om herontdekt te worden door beschavingen ver hier vandaan.

Wiskunde als discipline

Of wiskunde een wetenschap moet genoemd worden, daarover zijn de meningen verdeeld. Maar waarom doet de mensheid aan wiskunde?

Wiskunde om de wiskunde

Vooreerst is de wiskunde boeiend om de wiskunde zelf. Wie zich met wiskunde bezighoudt, komt in contact met de onvergankelijke waarheden, ontdekt door talloze generaties creatievelingen. De waaier aan wiskundige kennisdomeinen is gigantisch: analyse, algebra, meetkunde, logica, getaltheorie, statistiek, numerieke wiskunde, topologie ... Elk gebruiken ze hun eigen methoden en dat maakt hen erg verschillend.

Wiskunde wordt soms vergeleken met muziek. Het is ook een creatieve kunst, die overgeleverd wordt in een symbolische notatie die veel informatie bevat. Zoals muzieknoten op papier slechts een weergave zijn van muziek, vindt echte wiskunde plaats in onze geesten. Vele stellingen, redeneringen en wiskundige beelden worden als esthetisch ervaren. Hoe langer je wiskunde doet, hoe gemakkelijker je de sprekende schoonheid ervan kan ontwaren en appreciëren. En als het goed lukt, kan het erg plezierig zijn om te doen!

Wisselwerking met de wetenschappen

Daarnaast is de wiskunde en de kennis ervan een gegeerd goed in de natuur-, en tegenwoordig ook, de menswetenschappen. Meer dan eens is de wiskundige de rots in de branding voor de bioloog die DNA bestudeert, de fysicus die symmetrieën in de natuur onderzoekt, de econoom die geldstromen modelleert of de ingenieur die een machine bouwt. Wiskunde is hier meer dan een hulpje; zij is een wezenlijke bouwsteen bij al deze wetenschappen, een conditio sine qua non.

Ook omgekeerd is het vaak zo dat de grenzen van de innovatie gekenmerkt worden door een gebrek aan wiskundig gereedschap om die te overschrijden. De spectaculaire vooruitgang van de moleculaire biologie bijvoorbeeld, heeft niet alleen veel biologen maar ook grote wiskundigen geïnspireerd om een boeiende wisselwerking tot stand te brengen. Daardoor zijn heel wat nieuwe richtingen ontstaan, zowel in de wiskunde als in de biologie.

Toepassingsgebieden

Sinds Newton is de fysica altijd het belangrijkste toepassingsgebied van de wiskunde geweest. In de laatste decennia is de wisselwerking tussen theoretische fysica en wiskunde nog gegroeid. Natuurkundigen hebben soms een wiskundige theorie nodig die op dat ogenblik nog niet ontwikkeld is. Vanzelfsprekend stimuleert dat het wiskundeonderzoek uitermate. Omgekeerd zijn recente ontdekkingen in de zuivere wiskunde er soms de oorzaak van dat natuurkundigen volstrekt nieuwe inzichten krijgen in hun onderzoek.

Een ander groeiend toepassingsgebied van de wiskunde is de economie. De in de jaren 1940 ontwikkelde speltheorie speelt vandaag nog een grote rol in de economie en de wereldpolitiek. Ook partiële diferentiaalvergelijkingen en stochastische modellen zijn tegenwoordig schering en inslag bij de studie van afgeleide financiële producten zoals opties.

De laatste decennia zagen we een enorme gelijklopende ontwikkeling in de computerwereld en in de wiskundige gebieden rond informatica. De cryptografie bijvoorbeeld gebruikt ideeën uit de getaltheorie en de combinatorische meetkunde. Aan de artificiële intelligentie liggen o.a. lineaire algebra, grafentheorie en vaagverzamelingenleer ten grondslag. En ga zo maar door voor beeldverwerking, compilers, patroonherkenning, ...

De wiskundige en toegepaste statistiek werden van bij hun aanvang hand in hand ontwikkeld. Dankzij de digitale revolutie heeft men toegang tot grote datastromen in nagenoeg alle takken van de wetenschappen, de samenleving en het bedrijfsleven. Daar relevante conclusies uit halen is een uitdaging, waarvoor de tools door wiskundigen en statistici ontwikkeld werden en worden.

Van recentere datum dateren toepassingen van gevorderde wiskunde bij het modelleren van fenomenen uit de biowetenschappen. De wiskundige theorie van dynamische systemen wordt gebruikt in o.a. celbiologie, immunologie en epidemiologie. De kennisexplosie in de genetica heeft beurt wiskundigen aangezet om computationele tools te ontwikkelen, dikwijls in samenwerking met statistici, informatici en biologen.

Wiskunde leeftWiskunde leeft (HLN 22 november 2014)

Hoe oud de wiskunde precies is, weet geen mens. Het hangt er maar vanaf of je streepjes in een stok kerven wiskunde wil noemen. We kunnen wel zeggen dat de wiskunde minstens 2500 jaar jong is en nog steeds in volle uitbreiding.

Wereldwijd zijn zo'n 60 000 wiskundigen dag in dag uit in de weer met het ontwikkelen van nieuwe wiskunde, verkrijgen van nieuwe inzichten in bekende theorieën en af en toe ook met het herontdekken van oude wiskunde. Jaarlijks publiceren zij ruim 55 000 publicaties - dat is er elke 10 minuten één - in één van de ruim 1800 tijdschriften voor wiskunde.

Met rasse schreden nemen onze kennis en inzichten toe. De mysteries van gisteren zijn vaak de triomfen van van vandaag. We denken aan de ongelukkige burgers van de Griekse stadsstaat Delos die, om de toorn van de god Apollo te temperen, verwoed met passer en liniaal een kubisch altaar trachtten te construeren waarvan het volume dubbel zo groot was als een eerste altaar. Jammer voor de Deliërs, want in 1837 bewees de Fransman Pierre Wantzel dat zoiets onmogelijk is. Volgens Plato was het trouwens precies dát was wat Apollo vroeg: boven zichzelf uitstijgen in de studie van de wiskunde.

Het is jammer dat de lessen wiskunde op de middelbare scholen soms de verkeerde indruk wekken dat wiskunde af is, of dat elke wiskundige vraag met voldoende rekenwerk kan worden beantwoord. Niets is minder waar: met onze kennis is ook de grens met het onbekende toegenomen. Met enige zin voor cynisme zou men kunnen stellen dat we de afgelopen 2500 jaar een beter zicht verkregen hebben op de massa vragen waarop we het antwoord nog niet kennen.

We geven twee voorbeelden. Veel meer van dit vind je bijvoorbeeld op een lijst van onopgeloste problemen in de wiskunde op Wikipedia.

  • Het getal 6 wordt perfect genoemd omdat het gelijk is aan de som van zijn delers. Inderdaad, de delers van 6 zijn 1,2 en 3 en 1+2+3=6. Ook 28 is een perfect getal: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Omstreeks 300 voor Christus kende Euclides al een formule om perfecte getallen te vinden. De formule van Euclides vindt alleen de even perfecte getallen, waarvan de eerste 6, 28, 496 en 8128 zijn. De vraag of er een oneven perfect getal bestaat, is al ruim 2000 jaar onopgelost.
  • Neem een getal. Als het even is, deel het door twee. Als het oneven is, vermenigvuldig met drie en tel er één bij op. Herhaal dit zo vaak mogelijk. Beginnen we bijvoorbeeld met 6, dan vinden we 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Bestaat er een begingetal dat niet uiteindelijk bij één eindigt?
    De Duitse wiskundige Lothar Collatz vermoedde van niet. Maar hij vond geen bewijs. We zijn nu ruim 70 jaar verder, maar geen stap dichter bij de oplossing. De beroemde Hongaarse Wiskundige Paul Erdõs liet zich ooit ontvallen dat de wiskunde nog niet klaar was voor dergelijke problemen.